Электрическое поле системы зарядов на больших расстояниях
Потенциал электрического поля, создаваемого системой зарядов Qt в точке Р(г), согласно закону Кулона и принципу суперпозиции будет
Для точек пространства, удаленных на большие расстояния от системы, выполняется условие г,- г. При этом условии по аналогии с формулой (1.76) можно записать приближенное равенство
Преобразуем при помощи этой формулы выражение (1.80). Найдем, что потенциал электрического поля произвольной системы зарядов на больших расстояниях от этой системы имеет вид
— полный заряд системы, а вектор
есть электрический дипольный момент системы зарядов.
Если полный заряд Q системы не равен нулю, то первое слагаемое в формуле (1.81) будет больше второго. Это означает, что на больших расстояниях электрическое поле любого заряженного тела подобно полю точечного заряда. Если же полный заряд системы равен нулю, а электрический дипольный момент р не равен нулю, то из формулы (1.81) следует, что в этом случае поле на больших расстояниях от системы зарядов подобно электрическому полю точечного диполя.
Поле системы зарядов на далеких расстояниях
Поле системы зарядов на далеких расстояниях
Радиус-вектор от О до точки наблюдения в поле Р обозначается через Ro, а единичный вектор в этом направлении обозначается через n. Обозначим радиус-вектор элемента заряда de = pdV через r, а радиус-вектор из точки de в точку P — через R. Это очевидно R = Ro-g. Если расстояние от системы велико, Rq g и ок.
потенциала задержки В знаменателе подынтегральных выражений Людмила Фирмаль
У нас есть Подставляя это в уравнения (62.9) и (62.10) rn можно игнорировать по сравнению с Rq. В аргументе т-р / ц Вообще говоря, это нельзя игнорировать. Возможность такого незнания зависит от того, насколько изменяются сами p и j, а не от относительных значений R q / c и r p / s. в гп / с.
Учитывая, что Rq является постоянным во время интегрирования и поэтому может быть взято из знака интегрирования, мы находим следующее уравнение для потенциала поля на большом расстоянии от системы заряда: Небольшое поле на достаточно большом расстоянии от системы Часть пространства можно рассматривать как плоскую волну.
Для плоских волн H = [An] / s (Ср. (47.3)), точка над буквой означает разницу во времени 1). Таким образом, зная A находит H и E в форме lam2) H = — [An], E = — [[An] n]. (66,3) в Поле для дальних расстояний Он обратно пропорционален первой степени расстояния Ro от системы излучения. Также отметим, что время t включено в уравнения (66.1) — (66.3) и находится где угодно в комбинации с t-R o / c.
В случае излучения, генерируемого произвольно движущимся Для точечных зарядов удобно использовать потенциал Людмила Фирмаль
Расстояние Rq. Лиенара-Вихерта. Для больших расстояний вектор переменного радиуса R можно заменить постоянным значением Ro в уравнении (63.5) и в условии (63.1) для его определения, R = Ro — гоп (th (Ј) — вектор радиуса заряда).
Поэтому 3) ev (Q Где tf определяется из уравнения tr-th (t) n-t—. (66,5) в Электромагнитные волны, излучаемые системой Боритесь с удельной энергией. Поток энергии задается направляющим вектором, равным в плоских волнах SQ А2 = с-н. Интенсивность dl излучения для элемента телесного угла do определяется как количество энергии, протекающей за единицу времени.
Так что сердце Потому что энергия, излучаемая системой Распространяется в окружающем пространстве со скоростью с, Он нигде не будет накапливаться и не исчезнет. Вывести формулу спектрального разложения излучения Омывается волновой системой. Они доступны напрямую. § 64 из формулы. (64.2) R = Ро-рн (и Вы можете ограничить знаменатель подынтегрального Получить вектор для компонента Фурье, подставив R = Ro)
Возможности: IKR 0 G Au; = e— J j „e- ^ dV (66,7) (Где к = кн). Определяется компонентом и выражением (66.3). Замените их вместо H, E, A соответственно Eee
lujt = r [kA „], Ew = ^ [k [A„ k]]. (66,8) о Говоря о спектральном распределении интенсивности излучения Различать разложения в интегральные и фурье-ряды. Необходимо обрабатывать интегральное разложение Фурье Излучение, сопровождающее столкновения заряженных частиц.
В этом случае общее количество энергии Излучается во время столкновения (и, следовательно, теряется) Столкновение частиц). d S как энергия В телесный угол делайте элементы в виде волн с частотой Через два интервала.
Согласно общей формуле (49,8), общая доля Излучение на частотный диапазон до 2 т / г получается Замените квадрат от нормального выражения для интенсивности Одновременно с полем на квадрат модуля Фурье Так что вместо (66,6) dЈ ^ = f (66,9) Если заряд периодически перемещается, поле Излучение необходимо расширить с помощью ряда Фурье.
общий Уравнение (49.4) Прочность отдельных компонентов разложения Ряд Фурье Стабильность путем замены поля его компонентой Фурье Умножение 2. Следовательно, интенсивность излучения Элемент телесного угла делают на частоте w = psio is (66.10)
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Поле системы зарядов на больших расстояниях.
Возьмем систему Nзарядовq1,q2, …,qNразмещенных в объеме с линейными размерами порядкаl, и исследуем поле, создаваемое этой системой на расстоянияхr, больших по сравнению сl (rl). Выберем начало координатOвнутри объема, занимаемого системой, и определим положения зарядов с помощью радиус-векторовri(рис. 1.17;
показан только радиус-вектор i-го заряда).
Потенциал в точке, определяемой радиус-вектором r, равен
Вследствие малости riпо сравнению сrможно положить что
Подстановка этого выражения в формулу (1.62) дает
(1.63)
,
Если суммарный заряд системы равен нулю (qi = 0), значение дипольного момента не зависит от выбора начала координат. Чтобы убедиться в этом, возьмем два произвольных начала координатOаO‘ (рис. 1.18). Между радиус-векторамиi-го заряда, проведенными из этих точек, имеется соотношение:
(1.66)
(что такое вектор b, ясно из рисунка). С учетом (1.66) дипольный момент в системе с
Первое слагаемое равно нулю (так как qi = 0); второе представляет собойр– дипольный момент в системе координат с началом в точкеO. Таким образом, мы получили, чтоp‘ =p.
Выражение (1.64) по существу представляет собой первые члены разложения функции (1.62) в ряд по степеням величин ri/r. Еслиqi 0, основной вклад в потенциал вносит первый член формулы (1.64) (второй член убывает как 1/r 2 и потому много меньше первого). Для электрически нейтральной системы (qi = 0) первый член равен нулю, и потенциал определяется в основном вторым членом формулы (1.64). Так, в частности, обстоит дело в случае поля диполя.
Для изображенной на рис. 1.19а системы зарядов, называемой квадруполем, иqi, иpравны нулю, так что формула (1.64) дает нулевое значение потенциала. В действительности же доле квадруполя хотя и много слабее, чем поле диполя (с такими жеqиl), но отлично от нуля.
Отметим, что стоящая в числителе первого члена формулы (1.64) величина, равная qi, называетсямонополемилимультиполем нулевого порядка, диполь называетсямультиполем первого порядка, квадруполь –мультиполем второго порядкаи т.д.
Итак, в общем случае поле системы зарядов на больших расстояниях можно представить как наложение полей, создаваемых мультиполями разных порядков – монополем, диполем, квадруполем, октуполем и т. д.
3-я лекция. Объемная, поверхностная и линейная плотность зарядов.
Поле одной и двух заряженных плоскостей. Поле заряженных цилиндрических и сферических поверхностей. Поле заряженного шара.
Полярные и неполярные молекулы. Поляризованность диэлектрика. Диэлектрическая восприимчивость. Связанные и сторонние заряды. Микро- и макроскопические поля. Связь между поляризованностью диэлектрика и поверхностной и объемной плотностью связанных зарядов.
Электростатическое поле системы зарядов на большом расстоянии
Рассматривая поле системы неподвижных точечных зарядов на большом расстоянии, удобно первоначально определить потенциал этого поля. Пусть система состоит из неподвижных точечных зарядов
Рис. 12.20. К определению электростатического поля системы зарядов
где единичный вектор ёг — г/г (орт вектора г). В частном случае, если алгебраическая сумма зарядов системы отличается от нуля, то для потенциала системы на большом расстоянии от нее получим
Следовательно, поле системы зарядов будет приближенно совпадать
с полем точечного заряда > помещенного в центр данной системы,
так как потенциал поля системы ср(/ ; )
ф,(г). Размерами системы зарядов, таким образом, можно пренебречь.
Отметим, что если система зарядов электронейтральна, например случай молекулы, то потенциал поля определяется вторым слагаемым:
где = р — дипольный электрический момент произвольной системы
зарядов. Тогда при разложении потенциала системы зарядов в ряд получаем формулу, совпадающую с формулой (12.29) для потенциала поля диполя:
Следовательно, поле системы зарядов на большом удалении от нее может быть представлено полем электрического диполя.
Учебники
Журнал «Квант»
Общие
§9. Электрическое поле и его свойства
9.12 Электрический диполь.
Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.
Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов qk (k = 1,2…N), расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (Рис. 202). Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A, находящейся на расстоянии r, значительно превышающем l, все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q, величина которого равна сумме зарядов исходной системы
Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов qk (k = 1,2…N), так как при l \(
Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.
Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.
Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.
На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной \(
Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля \(
Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (Рис. 204). По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен
Учитывая, что r >> a, формулу (6) можно упростить с помощью приближений \(
Вектор напряженности электрического поля \(
\vec E\) удобно разложить на две составляющие: радиальную \(
\vec E_<\theta>\) (рис. 205). При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.
Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (Рис. 206).
Радиальная составляющая тогда выразится соотношением
Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом \(
При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ : sin Δθ ≈ Δθ.
Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 207).
Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента, величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя
Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле. Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE, равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен
Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0, так и против него α = π, однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.
Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.
Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось системы координат с направлением вектора напряженности (Рис. 209). Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,
В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (Рис. 210), может быть записан в виде
Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид
где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов
Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (Рис. 211). Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.
Задания для самостоятельной работы.
